Matematika SMA Matematika SMP

Persamaan Kuadrat

Sholihin 27 September 2011 4 Comments

Persamaan kuadrat merupakan suatu persamaan yang mempunyai bentuk umum:

ax^2 + bx + c = 0 , dengan a \neq 0, a, b, c \in R

a merupakan koefisien dari x^2, b merupakan koefisien dari x, sedangkan c merupakan konstanta.

Mencari penyelesaian persamaan kuadrat berarti mencari suatu nilai x sedemikian sehingga jika nilai x tesebut disubstitusikan ke dalam persamaan tersebut akan bernilai benar. Penyelesaian persamaan kuadrat itu juga disebut dengan akar-akar persamaan kuadrat.

Ada beberapa cara yang dapat digunakan untuk menyelesaikan atau mencari akar-akar persamaan kuadrat, yaitu:

1. Dengan Memfaktorkan

Bentuk ax^2 + bx + c = 0 (Untuk a = 1)
Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dengan pemfaktoran, maka:
x^2 + bx + c = 0
\Leftrightarrow x^2 + (m + n)x + m \times n = 0, dengan m \times n = c dan m + n = b
\Leftrightarrow (x + m)(x + n) = 0
(x + m) = 0 atau (x + n)=0

Bentuk ax^2 + bx + c = 0 (Untuk a \neq 1)
ax^2 + bx + c = 0
\Leftrightarrow ax^2 + px + qx + c = 0 dengan p \times q = a \times c, p + q = b
contoh:
3x^2 + 14x + 15 = 0
\Leftrightarrow 3x^2 + 5x + 9x + 15 = 0
\Leftrightarrow x(3x + 5) + 3(3x + 5) = 0
\Leftrightarrow (x + 3)(3x + 5) = 0
x + 3 = 0 atau 3x + 5 = 0
x = -3           x = -\frac{5}{3}

Bentuk ax^2 + bx + c = 0 (Untuk a \neq 1)
ax^2 + bx + c = 0
\Leftrightarrow \frac {1}{a}(ax + m)(ax + n) = 0, dengan m \times n = a \times c, m + n = b
contoh:
3x^2 + 14x + 15 = 0
\Leftrightarrow \frac {1}{3} (3x + 9)(3x + 5) = 0
\Leftrightarrow \frac {1}{3} \times 3(x + 3)(3x + 5) = 0
\Leftrightarrow (x + 3)(3x + 5) = 0
x + 3 = 0 atau 3x + 5 = 0
x = 3                x = -\frac{5}{3}

2. Dengan Melengkapkan Kuadrat Sempurna

Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat bentuk ax^2 + bx + c = 0 dengan melengkapkan kuadrat sempurna, maka langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:

  • Usahakan agar koefisien dari x^2 sama dengan 1, atau a = 1
  • Pindahkan konstanta c ke ruas kanan
  • Tambahkan kedua ruas dengan (\frac {1}{2} \cdot b)^2
  • Ubah ruas kiri menjadi bentuk kuadrat sempurna

Contoh:
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat x^2 - 4x - 5 = 0 dengan cara melengkapkan kuadrat.

2x^2 - x - 1 = 0
\Leftrightarrow x^2 - \frac {1}{2}x - \frac {1}{2} = 0
\Leftrightarrow x^2 - \frac {1}{2}x = \frac {1}{2}
\Leftrightarrow x^2 - \frac {1}{2}x + [\frac {1}{2} \cdot (-\frac {1}{2})]^2 = \frac {1}{2} + [\frac {1}{2} \cdot (-\frac {1}{2})]^2
\Leftrightarrow x^2 - \frac {1}{2}x + \frac {1}{16} = \frac {1}{2} + \frac {1}{16}
\Leftrightarrow (x - \frac {1}{4})^2 = \frac {9}{16}
\Leftrightarrow (x - \frac {1}{4}) = \pm \sqrt {\frac {9}{16}}
\Leftrightarrow (x - \frac {1}{4}) = \pm\frac {3}{4}
\Leftrightarrow x_{1,2} = \frac {1}{4} \pm \frac {3}{4}
x_1 = \frac {1}{4} + \frac {3}{4} atau x_2 = \frac {1}{4} - \frac {3}{4}
x_1 = 1                        x_2 = -\frac{1}{2}

3. Dengan Menggunakan Rumus Kuadrat (Rumus abc)

Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dengan menggunakan rumus kuadratis maka dapat menggunakan rumus sebagai berikut:

ax^2 + bx + c = 0
x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Rumus kuadratis dikenal pula dengan nama rumus abc karena digunakan untuk menghitung akar-akar persamaan kuadrat yang tergantung dari nilai-nilai a, b dan c suatu persamaan kuadrat. Untuk melihat pembuktian cara mencari rumus kuadratis tersebut, silakan baca postingan cara mencari rumus abc persamaan kuadrat.

Untuk contoh menyelesaikan soal persamaan kuadrat bisa dilihat di sini.

4 Replies to “Persamaan Kuadrat”

  1. Ping-balik: Persamaan Kuadrat « Rumah Pintar Matematika

  4. ingiin di beri contoh yang sudah langsung di bkin angka .. tapi hanya contoh nyah saja .. jawabannya biar saya yg mengerjakan sendrii .. tapi trimakash atas rumusnyah sangat bermanfaat

    Balas

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *