Materi Matematika Pembuktian

Pembuktian Teorema Stewart

Sholihin 26 Desember 2011 16 Comments

Ada banyak dalil/teorema pada segitiga yang sangat membantu kita untuk memudahkan perhitungan dalam mencari unsur segitiga yang dicari dalam soal. Salah satu teorema yang terkenal adalah dalil Stewart. Apa itu dalil stewart? Bagaimana pembuktian dalil Stewart? Untuk membuktikan dalil Stewart, perhatikan berikut ini.

\begin{array}{lcl} \textbf{Diketahui} & : & \triangle ABC, \text{ garis } CD \text{ membagi } AB \text{ menjadi } AD \text{ dan } BD \\ \textbf{Buktikan} & : & CD^2 \times AB = (BC^2 \times AD) + (AC^2 \times BD) - (AD \times BD \times AB) \\ \textbf{Bukti} &:& \text{Tarik garis CE sedemikian sehingga } CE \perp AB \end{array}

Pembuktian dalil Stewart
Bukti dalil stewart

Proyeksi CD pada garis AB adalah ED

Perhatikan \triangle ADC, berdasarkan proyeksi pada segitga lancip maka berlaku:

\begin{array}{rcl} AC^2 &=& CD^2 + AD^2 - (2AD \times DE) \\ 2AD \times DE &=& CD^2 + AD^2 - AC^2 \\ DE &=& \frac {CD^2 + AD^2 - AC^2}{2AD} \cdots \cdots (1)\end{array}

Perhatikan \triangle DBC, berdasarkan proyeksi pada segitga tumpul maka berlaku:

\begin{array}{rcl} CB^2 &=& CD^2 + BD^2 + (2BD \times DE) \\ -2BD \times DE &=& CD^2 + BD^2 - BC^2 \\ DE &=& \frac {-CD^2 - BD^2 + BC^2}{2BD} \cdots \cdots (2)\end{array}

Dari (1) dan (2) didapat:

\begin{array}{rcl} DE &=& DE \\ \frac {CD^2 + AD^2 - AC^2}{2AD} & = & \frac {-CD^2 - BD^2 + BC^2}{2BD} \\ 2BD(CD^2 + AD^2 - AC^2) &=& 2AD(-CD^2 - BD^2 + BC^2)\\ BD.CD^2 + BD.AD^2 - BD.AC^2 &=& - AD.CD^2 - AD.BD^2 + AD.BC^2 \\BD.CD^2 + AD.CD^2 &=& AD.BC^2 + BD.AC^2 - BD.AD^2 - AD.BD^2 \\ (BD + AD)CD^2 &=& AD.BC^2 + BD.AC^2 - BD.AD(AD+BD) \\ AB.CD^2 &=& AD.BC^2 + BD.AC^2 - BD.AD.AB\end{array} \therefore CD^2 \times AB = (BC^2 \times AD) + (AC^2 \times BD) - (AD \times BD \times AB)

Mudah bukan pembuktian dalil Stewart di atas? Semangat Matematika

16 Replies to “Pembuktian Teorema Stewart”

  6. Dulu pas saya SMA saya dijejelin terus nih mas sama model yang kaya gini, mumet met 😀 Paling kemaren-kemaren aja di kuliah belajar matematika terapan sama statistik probabilitas, ya itupun “merangkak-rangkak” ikutin nya hahaha

    Balas

    1. Wah keren dunk brati mas, aq aja dapet teorema stewart ini pas kuliah lho padahal [maklum SMA biasa hehehe].
      NGeblog sekalian nerapin ilmu mas, biar gak lupa.

      Balas

      1. Maksudnya pas di SMA yang modelnya mirip sama teorema Stewart gitu mas, ya pembuktian teorema yang lain, kalo teorema Stewart nya sendiri saya baru dari mas aja, hehehe

        Balas

  8. ada tugas nie… Segitiga ABC siku siku di C. D Є AB sedemikian sehingga AD:DB = 1:2 ,buktikan bahwa 9CD2 =a2 +(2b)2.. mohon bantuannya… ko bisa dengan 5 cara… makasih

    Balas

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *