Materi Matematika

Barisan dan Deret Aritmatika

Sholihin 7 Januari 2012 71 Comments

Dalam kehidupan sehari-hari, sering kita menjumpai hal-hal yang berhubungan dengan barisan maupun pola bilangan. Misalnya nomor rumah mengikuti pola bilangan ganjil dan pola bilangan genap. Pada kesempatan kali ini, coba sedikit membahas pola bilangan, khususnya barisan dan deret Aritmatika.

Apa yang dimaksud barisan dan deret Aritmatika?

Barisan Aritmatika

Suatu barisan bilangan U_1 , U_2 , U_3 , . . . , U_{n-1}, U_n disebut barisan aritmatika jika selisih dua suku yang berurutan selalu tetap. Selisih dua suku yang berurutan disebut dengan beda, atau dinotasikan dengan b. Sedangkan suku pertama U_1 = a. Bentuk umum barisan aritmatika adalah sebagai berikut:

a , (a + b) , (a + 2b) , (a + 3b) , (a + 4b) , . . . . , (a + nb)

dengan:

\begin{array} {rcl} a &=& U_1 \\ b &=& U_2 - U_1 = U_3 - U_2 = U_n - U_{n-1} \end{array}

Contoh barisan aritmatika 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , . . . . dengan a = 1, b = 3 - 1 = 2

Jika x, y, z merupakan barisan aritmatika, maka berlaku 2y = x + z

Jika pada barisan artimatika disisipkan k buah bilangan sehingga terbentuk barisan aritmatika baru, maka b_{baru} = \frac{b_{lama}}{k + 1} dengan k adalah banyaknya bilangan yang disisipkan.

Suku ke-n Barisan Aritmatika

Untuk mencari suku ke-n barisan aritmatika perhatikan langkah berikut:

\begin{array} {rcl} U_1 &=& a \\ U_2 &=& a + b \\ U_3 &=& a + 2b \\ U_4 &=& a + 3b \\ \vdots \\ U_n &=& a+(n-1)b \end{array}

Jadi, rumus suku ke-n barisan aritmatika U_n = a + (n-1)b

Deret Artimatika

Jika U_1 , U_2 , U_3 , U_4 , . . . , U_{n-1}, U_n merupakan barisan aritmatika, maka

U_1 + U_2 + U_3 + U_4 + . . . + U_{n-1}+ U_nmerupakan deret aritmatika.

Jumlah n suku Deret Aritmatika

Jumlah n suku pertama deret aritmatika dinotasikan dengan S_n.
Untuk mendapatkan rumus jumlah n suku pertama deret aritmatika perhatikan langkah-langkah berikut:
Sn deret aritmatika

2S_n= n(U_1 + U_n)
S_n = \frac{n}{2}[U_1 + U_n] atau karena U_n = a + (n-1)b] maka

S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)b]

Keterangan:

\begin{array}{rcl} S_n &=& \text{ Jumlah n suku deret aritmatika } \\ n &=& \text{ banyaknya suku } \\ a &=& \text { Suku pertama } \\ b &=& \text{ beda/selisih } \end{array}

Suku ke-n dari barisan aritmatika juga bisa dicari menggunakan rumus berikut:

U_n = S_n - S_{n-1}

Rumus Suku Tengah Barisan Aritmatika

Suatu barisan aritmatika dengan banyaknya suku 2k-1 dimana k \geq 2, k \in \text{ bilangan asli } maka untuk mencari suku tengahnya dapat digunakan rumus:

U_k = \frac{1}{2}[U_1 + U_{2k-1}]

Keterangan:

\begin{array}{rcl} U_k &=& \text{ suku tengah } \\ U_{2k-1} &=& \text{ suku terakhir } \end{array}

Ini hanya sedikit uraian mengenai barisan dan deret Aritmatika. Masih banyak pola bilangan yang lain. Ada pertanyaan? Silakan bertanya melalui kolom komentar di bawah.

 

 

71 Replies to “Barisan dan Deret Aritmatika”

      1. emank sih dulu aku paling pinter disekolah ma yg ginian hahah., sampe2 gurunya sayang banget ma aku., beuh., apalagi gurunya masih gadis., cantik lagi ahahah., ko ga nyambung ya,. 😀

        Balas

    1. Soal lengkapnya bagaimana?
      Biasanya untuk mencari Sn maka suku pertama/suku yang lain, dan selisih juga harus diketahui. Kalau yang diketahui hanya selisih rumus Sn nya sepertinya tidak bisa dicari, hanya mentok di S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)\times selisih]

      Balas

      1. eh sori, n nya juga diketahui mas. udah tak coba rumusnya. ketemu mas. hahaha males buka buku eh ketemu disini langsung tak coba pake ms.excel eh dapet. mantep dah

        Balas

          1. Selain sekedar buat ikut psikotes sih ini banyak kepake di bidang computer science (kebetulan gw orang komputer sih). Kemarin juga keluar di soal tes buat pegawai baru pas ngelamar kerja di bagian soal matematika & logika. Berhubung ini bisa aja keluar di tes pas kita ngelamar kerja, penting dong buat dipelajarin. 😀

            Sebenernya nggak ribet-ribet amet juga sih, cuma emang agak gampang-gampang susah pas nebak-nebak polanya.

  7. nnya lg yy kak…
    ad soal bgni
    Suatu barisan bilangan : 4-6-1-6-8-2-2-8-10-3-3-….-…… Bilangan selanjutnya adalah….
    ini soal.a tu termasuk deret aph yy…???
    trus cra pngerjaanya gmna….
    aq nyri” g ktmu”i…
    🙁

    Balas

    1. Kalo menurutku jawabannya 3 dan 10
      Penjelasannya gini:
      lihat dulu angka 1, 2 dan 3. Sebenarnya itu adalah perulanga 1 sebanyak 1 buah, angka 2 sebanyak 2 buah [2 – 2] dan sebelum perulangan itu selisih bilangannya adalah 2 [ 4 – 6, 6 – 8, 8 – 10]
      Jadi kalo diterusin seperti ini
      4 – 6 – 1 – 6 – 8 – 2 – 2 – 8 – 1 0 – 3 – 3 – 3 – 10 – 12 – 4 – 4 – 4 – 4 – 12 – 14 – 5 – 5 – 5 – 5 – 5 – 14 – 16 – ……

      Balas

  10. kk, kalau pada deret aritmatika., rumus banyak suku pada deret aritmatika nya apa??

    Contoh:
    4 12 20 … 132
    ditanya banyak suku pada deret diatas berapa?
    rumusnya gmana??

    Balas

    1. Itu adalah mencari nilai n,
      pada deret tersebut diketahui a = 4, b = 8
      Rumus suku ke-n adalah U_n = a + (n-1)b. Suku terakhir menunjukkan banyaknya n.
      a + (n-1)b = 132
      4 + (n - 1)8 = 132
      8n = 136
      n =17
      Karena suku terakhir adalah suku ke-17, maka banyaknya suku ada 17.
      Moga bisa dipahami.

      Balas

    1. Sipp, makasih.
      Sebenarnya bisa dikopas kok, asal tau tricknya. Blognya sengaja diprotect karena udah beberapa kali artikel dikopas mentah-mentah tanpa memberikan link sumbernya.

      Balas

  12. Asw. prtanyaan sy, Deret Aritmetika dikthui U3+U6+U9+U12 = 72 ditanya jumlah 14 suku pertma ??
    Mohon penjelasan, Trmkasih

    Balas

  13. Ya,, sudah jelas sekali,, harus paham soal dan mengaitkan dg rumus yang ada,, itu yg sy gk bisa. tpi trimakasih ats pnjlsnnya

    Balas

    1. Itulah mengapa konsep dasar kadang jauh lebih penting daripada cara praktis, karena seringkali kita dihadapkan pada soal yang membutuhkan kreasi dan pengembangan konsep.
      Sama-sama, moga bisa bermanfaat.

      Balas

  14. mas,mw tanya, kalau suku ke 7 suatu barisan adalah 27 dan suku ke 12 adalah 37, berapakah suku ke 14,
    makasi

    Balas

    1. Ini barisannya diketahui aritmatika atau tidak? atau hanya sebuah barisan bilangan?
      Misal aritmatika,
      U7 = a + 6b = 27 ………..(1)
      U12 = a + 11b = 37 ………….(2)
      Lakukan substitusi/eliminasi pada persamaan (1) dan (2)
      a + 11b = 37
      a + 6b = 27
      ________________-
      5b = 10
      b = 2 ==> a = 15
      Suku ke-14
      U14 = a + 13b = 15 + 13(2) = 41
      Jadi suku ke-14 nya adalah 41

      Balas

  16. jika hari ini adalah hari jumat, maka 1000 hari lagi hari apa?
    rumus penyelesaiannya seperti apa?
    tmksh

    Balas

    1. 1 Minggu ada 7 hari
      1000 hari dibagi 7 hari adalah 142, sisanya 6 hari.
      6 Hari setelah hari Jum’at adalah hari kamis.
      Berari jika hari ini jum’at, 1000 tahun lagi adalah hari kamis.

      Balas

  17. ini gimana mas… suku tengah deret aritmatika 18,suku terakhir 33,suku ke lima 23,, berapa banyak deret

    Balas

    1. Berdasarkan rumus suku tengah seperti di atas,
      U_k = \frac{1}{2}[U_1 + U_{2k-1}]
      18 = \frac{1}{2}[a + 33]
      36 = a + 33
      a = 3
      Suku ke-5
      U_5 = a + 4b
      23 = 3 + 4b
      b = \frac{20}{4} = 5
      Suku terakhir menyatakan banyaknya suku
      U_n = [a + (n - 1)b]
      33 = [3 + (n - 1)5]
      33 = 3 + 5n - 5
      5n = 35
      n = 7
      Jadi, banyaknya suku ada 7 buah.
      Apakah sudah jelas? Semoga bisa membantu.

      Balas

    1. Bilangan yang habis dibagi 3 dan 5 berarti habis dibagi 15.
      Bilangan tersebut adalah 15, 30, 45, …, 480 yang membentuk barisan aritmatika.
      a = 15, b = 15 maka didapat n = 32
      Banyaknya barisan tersebut bisa dicari menggunakan rumus pada barisan aritmatika, yaitu ada 32.
      Bilangan yang tidak habis dibagi 3 dan 5 berarti bilangan selain di atas, banyaknya ada 500 – 32 = 468
      CMIIW

      Balas

  19. A.] cari bilangan yang habis dibagi KPK dari 3 dan 5 yaitu 15 :
    15 + (n – 1) 15 = 500
    15n = 500
    n = 33 sisa 5
    ada 33 bilangan

    E.] bilangan yang tidak habis dibagi 3 dan 5 :
    = (500 – 2) – 33
    karena antara 1-500
    = 498 – 33
    = 465 bilangan
    (via yahoo answer) CMIIW

    Balas

    1. Banyak ilmu matematika yang diterapkan juga di ilmu yang lain, karena matematika sebagai ilmu universal jadi saling terkait juga dengan ilmu yang lain.
      Mudah-mudahan yang saya sampaiakan bisa bermanfaat 🙂

      Balas

  22. bantuin donggg….
    jika jumlah 10 suku pertama suatu deret aritmatika adalah 110 dan jumlah 2 suku berturut-turut berikutnya adalah -2, maka jumlah 2 suku pertama deret itu adalah…
    dibantu yaaa.. prok prok prok 😀

    Balas

    1. Jumlah 10 suku pertama misal adalah S_{10}
      S_n = \frac{n}{2}[2n + (n-1)b]
      110 = \frac{10}{2}[2a + (10-1)b]
      22 = 2a + 9b ………(1)
      Jumlah dua suku berturut-turut berikutnya adalah -2, misal suku itu adalah U_{11} = a + 10b dan U_{12} = a + 11b
      U_{11} + U_{12} = -2
      (a + 10b) + (a + 11b) = -2
      2a + 21b = -2……..(2)
      Dari persamaan (1) dan (2)
      2a + 9b = 22
      \frac{2a + 21b = -2}{-12b = 24}-
      b = -2
      2a + 9(-2) = 22, maka a = 20
      Jumlah dua suku pertama deret tersebut adalah a + (a + b) = 2a + b = 2(20) + -2 = 38

      Balas

  24. saya pernah dapet soal tentang deret seperti ini :
    tentukan nilai dari deret :
    5+1+8+5+11+9+ …. (sampai 80 suku)

    sampai sekarang masih bingung tolong minta penjelasannya
    terima kasih

    Balas

    1. Wah lumayan juga ya, saya akan coba memberikan gambaran deret tersebut.
      5 + 1 + 8 + 5 + 11 + 9
      Coba kita kurangkan suku kedua dengan suku pertama, suku ketiga dengan suku kedua, dan seterusnya.
      1 – 5 = -4 (a)
      8 – 1 = 7 (b)
      5 – 8 = -3 (c)
      11 – 5 = 6 (d)
      9 – 11 = -2 (e)
      Dari pola tersebut yaitu (a), (c), dan (e) selalu berurutan yaitu dari -4, -3, -2 dan terus naik.
      Sedangkan (b) dan (d) juga berurutan yaitu 7, 6 dan terus turun.
      Jadi mungkin suku berikutnya adalah sebagai berikut
      5 + 1 + 8 + 5 + 11 + 9 + 14 + 13 + 17 + …..
      Mungkin bisa memberikan inspirasi?
      CMIIW

      Balas
  25. Ping-balik: Metode Jitu Mencari Beda suatu Barisan/Deret Aritmatika | Matematika Jitu

  26. Ini gimana nih.. Huhuhu.. (bantu2 yaa)

    “Biaya pembuatan sumur pd 1m pertama Rp10.000.000,- 1m kedua Rp13.000.000,- dan 1m strusnya brtambah Rp3.000,- dr bea sblmnya. Jumlah biaya yg dikeluarkan utk menggali sumur sdlm 10m adl …. ”
    mksh sblmnya

    Balas

  27. kak, minta bantuannya donx…!!!
    da soal : dik : U8 barisan aritmatika =15 sedangkan suku ke-2 dan suku ke-16 = 26
    dit : a) cari suku pertama & beda
    b) rumus untuk suku n..

    mohon penjelasannya y kak….
    mksh sblmnya… :’)

    Balas

    1. Barisan aritmatika ya, Oke
      U_8 = 15 \Leftrightarrow a + 7b = 15 ……. (1)
      \begin {array}{rcl} U_2 + U_{16} = 26 & \Leftrightarrow & (a + b) + (a + 15b) = 26 \\ &\Leftrightarrow & 2a + 16b = 26 \\ & \Leftrightarrow & a + 8b = 13 \end{array} ………. (2)
      Substitusi dan eliminasi persamaan 1 dan 2
      a + 7b = 15
      \underline{a + 8b = 13}-
      \begin{array}{rcl} -b &=&2 \\ b &=& -2 \end{array}
      Substitusikan b = -2 ke salah satu persamaan
      a + 7b = 15
      a + 7(-2) = 15
      a = 29
      Didapat a = 29 dan b = -2

      U_n = a + (n-1)b \Rightarrow U_n = 31 - 2n

      Balas

  29. Dik suatu barisan aritmatik dengan U3 U9 U11=75. Suku tengah =68 dan banyak sukunya 43, maka U43=… Mohon penjelasannya..

    Balas

    1. Dik suatu barisan aritmatik dengan U3 U9 U11=75.
      Ini U3 + U9 + U1 = 75 atau bagaimana soalnya?
      U_3 + U_9 + U_{11} = 75
      (a + 2b) + (a + 8b) + (a + 10b) = 75
      3a + 20b = 75 \cdots (1)

      U_k = \frac{1}{2}[U_1 + U_{2k-1}]
      68 = \frac{1}{2}[a + (a + 42b)]
      136 = 2a + 42b
      a + 21b = 68 \cdots (2)

      Dari persamaan (1) dan (2)
      \begin{matrix} 3a + 20b = 75 \\ a + 21b = 68 \end{matrix} \begin{vmatrix} \times 1\\ \times 3\end{vmatrix}\begin{matrix} 3a + 20b = 75 \\ 3a + 63b = 204 \end{matrix}
      \overline{-43b = -129}
      b = 3
      a = 68 - 21(3) = 5

      U_{43} = a + 42b = 5 + 42(3) = 131
      Jadi suku ke-43 adalah 131

      Balas

  30. suku kedua dan kedelapan dari suatu barisan geometri berturut” adalah 12 dan 768 suku kesepuluh barisan tersebut adalah

    Balas

    2. Diketahui barisan geometri.
      U_n = ar^{(n-1)}
      U_2 = ar = 12 \Leftrightarrow a=\frac{12}{r} …………. (1)
      U_8 = ar^7=768 …………. (2)
      Substitusikan persamaan (1) ke persamaan (2)
      ar^7=768
      (\frac{12}{r})r^7=768
      r^6=64 (kedua ruas dibagi 12)
      r = \sqrt[6]{64}
      r = 2
      r = 2 disubstitusikan ke persamaan (1) untuk mencari nilai a, didapat a = 6
      U_{10} = ar^{(10-1)} = 6(2)^9 = 6(512) = 3072
      Semoga bisa membantu.

      Balas

  31. Bang, barisan dan deret itu bab di mata kuliah kapita selekta ya? teks book yang abang pake apa? mohon infonya,, pengin pinter juga kayak abang… 🙂

    Balas

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *