Soal dan pembahasan

Jawaban Soal Haqqinna dan Utari

Sholihin 14 April 2012 30 Comments

Mohon maaf baru bisa posting dan juga jika ada soal yang belum saya bahas. Seperti yang diketahui, untuk posting yang mengandung banyak persamaan matematika membutuhkan waktu lebih. Selain kegiatan offline, kemaren juga blog ini mengalami error jadi mohon maaf sebelumnya. Lanjut ke pembahasan yuk. Ini ada dua pertanyaan yang akan dibahas, pertanyaan dari Utari dan Haqqina.

Misalkan f(x)=2/(4^x+2) untuk x∈R hitunglah f(1/21)+f(2/21)+f(3/21)+⋯+f(20/21)

Untuk soal yang pertama ditanyakan oleh Utari, diketahui f(x)=\frac{2}{4^x+2}

f(\frac{1}{21})+f(\frac{2}{21})+f(\frac{3}{21})+f(\frac{4}{21})+\cdots+f(\frac{20}{21}) = \frac{2}{4^{\frac{1}{21}}+2} +\frac{2}{4^{\frac{2}{21}}+2}+\frac{2}{4^{\frac{3}{21}}+2}+\cdots+\frac{2}{4^{\frac{20}{21}}+2} = \frac{2}{2^{\frac{2}{21}}+2} +\frac{2}{2^{\frac{4}{21}}+2}+\frac{2}{2^{\frac{6}{21}}+2}+\cdots+\frac{2}{2^{\frac{40}{21}}+2}

Bagilah pembilang dan penyebutnya dengan 2^1

= \frac{1}{2^{\frac{-19}{21}}+1} +\frac{1}{2^{\frac{-17}{21}}+1}+\frac{1}{2^{\frac{-15}{21}}+1} + \cdots + \frac{1}{2^{\frac{17}{21}}+1} +\frac{1}{2^{\frac{19}{21}}+1} = \frac{1}{2^{\frac{-19}{21}}+1} +\frac{1}{2^{\frac{19}{21}}+1}+\frac{1}{2^{\frac{-17}{21}}+1}+\frac{1}{2^{\frac{17}{21}}+1} + \cdots + \frac{1}{2^{\frac{-1}{21}}+1} +\frac{1}{2^{\frac{1}{21}}+1}

Kita misal ambil contoh sebagai berikut:

\begin{array}{rcl}\frac{1}{2^{\frac{-19}{21}}+1} +\frac{1}{2^{\frac{19}{21}}+1}&=&\frac{1(2^{\frac{19}{21}}+1)+1(2^{\frac{-19}{21}}+1)}{(2^{\frac{-19}{21}}+1)(2^{\frac{19}{21}}+1)}\\ &=& \frac{2^{\frac{19}{21}}+2^{\frac{-19}{21}}+2}{2+2^{\frac{19}{21}}+2^{\frac{-19}{21}}}\\&=&1\end{array}

Apakah berlaku juga untuk \frac{1}{2^{\frac{-17}{21}}+1} +\frac{1}{2^{\frac{17}{21}}+1} dan juga bentuk yang lainnya? Yups, benar ternyata berlaku. Silakan buktikan sebagai latihan. Kalau sudah, lanjut.

= \frac{1}{2^{\frac{-19}{21}}+1} +\frac{1}{2^{\frac{19}{21}}+1}+\frac{1}{2^{\frac{-17}{21}}+1}+\frac{1}{2^{\frac{17}{21}}+1} + \cdots + \frac{1}{2^{\frac{-1}{21}}+1} +\frac{1}{2^{\frac{1}{21}}+1}

= 1 + 1 + 1 + \cdots + 1 (sebanyak 10 suku)

= 10 \times 1 = 10

Jadi, f(\frac{1}{21})+f(\frac{2}{21})+f(\frac{3}{21})+f(\frac{4}{21})+\cdots+f(\frac{20}{21}) = 10

Kira-kira seperti itu pembahasannya, apakah masih ada yang kurang jelas?

Untuk soal kedua, dari Haqqinna. Sederhanakan bentuk berikut: a^3/((a-b)(a-c))+b^3/((b-a)(b-c))+c^3/((c-a)(c-b))

\frac {a^3}{(a-b)(a-c)} + \frac{b^3}{(b-a)(b-c)}+ \frac{c^3}{(c-a)(c-b)}

= \frac {a^3}{(a-b)(a-c)} - \frac{b^3}{(a-b)(b-c)}+ \frac{c^3}{(c-a)(c-b)}

= \frac {a^3(b-c) - b^3(a - c) + c^3(a - b)}{(a - b)(b - c)(a - c)}

= \frac {a^3(b - c) - ab^3 + b^3c + ac^3 - bc^3}{(a - b)(b - c)(a - c)}

= \frac {a^3(b -c) + a(-b^3 + c^3) + b^3c - bc^3}{(a - b)(b - c)(a - c)}

Faktorkan pembilangnya, bisa menggunakan metode Horner. Misalkan a sebagai variabelnya, diperoleh sebagai berikut:

= \frac {(a - b)(a - c)(a(b - c) + b^2 - c^2)}{(a - b)(b - c)(a - c)}

= \frac {a(b - c) + (b + c)(b - c)}{(b - c)}

= \frac {(a + (b + c))(b - c)}{(b - c)}

= a + b + c

Refrensi: Kelompok Belajar

Kalau masih ada yang kurang jelas, silakan ditanyakan kembali. Pembahasan di atas merupakan salah satu cara penyelesaian saja.

PS: Jika ada yang mengajukan soal yang masih berhubungan dengan isi artikel, silakan ajukan lewat komentar artikel. Kalau soalnya tidak berhubungan dengan artikel, ajukan pertanyaan lewat halaman buku tamu. Sertakan juga tingkat soal/sumber soal [Soal SD, SMP, SMA atau soal olimpiade] agar disesuaikan dengan jenjang pembahasannya.

30 Replies to “Jawaban Soal Haqqinna dan Utari”

  5. wehehehe..
    MakasiH…

    Maph sblm.a kL bkin pusing..
    Ckck..
    It soal mat.kul matematika sekolah 1
    Jd msh tingkt SMP,

    Ckckck.. 😀

    Balas

    1. Oalah mata kuliah matematika sekolah toh? Iya sih mungkin masih tingkat SMP, tapi bukan jenis soal SMP biasa, ini sekelas soal olimpiade 🙂

      Balas

  9. diliat sekilas kayaknya sangar, tapi asyik nih soal… 😀 mas, saran, pangkatnya gak bisa ya langsung pangkat, tanpa pakai ^ soalnya td sempat bingung, eh, lihat penyelesaian, maksudnya itu. hehe. 😀

    Balas

    1. Makasih mas sarannya, itu kan soal asli dari yang tanya soal. Memang sengaja saya tuilskan soalnya seperti itu, apa adanya, biar kalo ada yang cari soal yang sama bisa terdeteksi mbah google.
      Soalnya kalo langsung dituliskan persamaan pake latex, susah terdeteksi google 🙂

      Balas

    1. Hehehe sama mas,
      Belum dipake mas,masih dalam tahap penghancuran. Mas faisal juga udah mulai ngoprek tuh theme? Ada yang mau saya tanyakan.

      Balas

      1. Belum mas, baru saya liat-liat aja.
        Sekarang sih masih bertahan sama tema yang ini dulu mas. Soalnya udah banyak yang di oprek sih, jadi butuh banyak waktu kalo mau oprek yang baru lagi 🙂 Tapi niatnya memang mau nyoba yang responsif ini.

        Mau tanya apa gitu mas? Kalo saya tau ya nanti saya kasih tau 🙂

        Balas

        1. Iya mas, ni juga kalo jadi ganti masih agak lama kok. Banyak yang harus dioprek. Sebenarnya juga masih betah pake theme ini, tapi gak responsive. Kalo bikin responsive masih agak bingung, lebih baik hancurkan theme yang ada hehehe….
          Tanya Thumbnail yang di post-entry mas, yang di index/page itu. Kalo adapt ukurannya belum bisa dibuat thumbail sesuai selera, masih sama ukuran gambar asli. Padahal scriptnya udah tak samain ma Ribbons/minimal expert, tapi masih belum jadi.

          Balas

          1. Maksudnya biar thumbnail yang di index ukurannya bisa otomatis nyesuain gitu mas?

            Saya liat sih fungsi untuk Featured Imagenya beda gitu mas. Coba liat yang di file functions.php tuh mas, di bagian “Featured Image”, harus disesuaikan dulu mungkin di situnya.

          2. Iya mas udah, ternyata salah ketik jadinya gak ngefek hahaha, dasar payah banget nih hal sepele malahan kelewat gitu aja. Ini masih dioprek mas, mungkin bulan depan jadi saya pakai.

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *