Soal dan pembahasan

Contoh Pembahasan Soal Olimpiade Matematika

Sholihin 11 Februari 2012 69 Comments

Dari komentar Pak Wandi pada postingan soal dan pembahasan bilangan ke-1439, beliau mengajukan beberapa soal lagi. Mungkin masih berkaitan dengan soal PASIAD 2010, karena tidak disebutkan sumber soalnya. Jika dari pembaca sekalian ada yang mengetahuinya, dimohon agar memberitahukan lewat komentar agar bisa ditambahkan informasi sumber soal. Soalnya kurang lebih seperti ini:

  1. Tentukan \frac{3}{(1 \times 4)} + \frac{5}{(4 \times 9)} + \frac{7}{(9 \times 16)} + \cdots + \frac{2003}{(1001^2 \times 1002^2)} = \cdots
  2. Tentukan nilai x jika (2^x-4)^3+(4^x-2)^3=(4^x+2^x-6)^3==> x=? [Jujur saja penulisan bentuk soal tersebut agak rancu, bisa berarti (2^{x-4})^3 + (4^{x-2})^3 = (4^x + 2^{x-6})^3 atau (2^x - 4)^3 + (4^x - 2)^3 = (4^x + 2^x - 6)^3 karena saya belum bisa sepenuhnya memahami soal yang dimaksud dan belum mendapat konfirmasi soal yang benar bagaimana].

Jawab:

1. Untuk menjawab soal pertama, lakukan manipulasi bentuk aljabar tersebut.

\frac{3}{(1 \times 4)} + \frac{5}{(4 \times 9)} + \frac{7}{(9 \times 16)} + \cdots + \frac{2003}{(1001^2 \times 1002^2)} = \frac{3}{(1^2 \times 2^2)} + \frac{5}{(2^2 \times 3^2)} + \frac{7}{(3^2 \times 4^2)} + \cdots + \frac{2003}{(1001^2 \times 1002^2)} = \frac{3}{(1 \times 2)^2} + \frac{5}{(2 \times 3)^2} + \frac{7}{(3 \times 4)^2} + \cdots + \frac{2003}{(1001 \times 1002)^2}

Dari bentuk tersebut, maka bentuk umumnya adalah \frac{2n+1}{[n(n+1)]^2} untuk n = 1 , 2 , 3 , 4 , . . . , 1001

\frac{2n+1}{[n(n+1)]^2} = \frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n+1)^2} maka:

\frac{3}{(1 \times 4)} + \frac{5}{(4 \times 9)} + \frac{7}{(9 \times 16)} + \cdots + \frac{2003}{(1001^2 \times 1002^2)} = [\frac {1}{1^2} - \frac{1}{2^2}] + [\frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2}] + [\frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2}] + \cdots + [\frac{1}{1001^2} - \frac{1}{1002^2}] = 1 - \frac{1}{1002^2}

Jawaban tersebut masih bisa disederhanakan, tinggal disesuaikan dengan pilihan jawaban kalau ada.

2. Ini maksud soalnya saya kurang paham, apakah (2^{x-4})^3 + (4^{x-2})^3 = (4^x + 2^{x-6})^3, x= \cdots atau (2^x - 4)^3 + (4^x - 2)^3 = (4^x + 2^x - 6)^3, x= \cdots

Untuk melihat soal yang dimaksud, silakan menuju komentar Pak Wandi.

Menurut komentar mas Tutur, soal nomor 2 cenderung ke bentuk soal (2^x - 4)^3 + (4^x - 2)^3 = (4^x + 2^x - 6)^3, dan beliau juga memberikan jawabannya sebagai berikut:

Misalkan,  2^x-4=a   dan 4^x-2=b  maka soal  menjadi equivalen dengan bentuk a^3+b^3=(a+b)^3

Karena (a+b)^3=a^3+b^3+3a^2b+3ab^2 maka diperoleh,

\begin{array}{rcl} 3a^2b+3ab^2&=&0 \\ 3ab(a+b)&=&0 \\ ab(a+b)&=&0 \end{array}

Substitusikan kembali nilai a dan b,  diperoleh

(2^x-4)(4^x-2)(4^x+2^x-6)=0

(2^x-4)(4^x-2)(2^x+3)(2^x-2)=0

Untuk 2^x-4=0, maka x=2

Untuk 4^x-2=0, maka diperoleh x=\frac{1}{2}

Untuk 2^x+3=0, tidak ada nilai x yang memenuhi.

Untuk 2^x-2=0, diperoleh x=1

Jadi, HP = \left \{ \frac{1}{2} , 1 , 2 \right \}

[Diperbaharui, Senin 12 Maret 2012]

Kiranya sekian dahulu contoh pembahasan soal olimpiade matematika SMP, mohon koreksinya misal terdapat kesalahan. Jika ada pertanyaan atau ada yang masih kurang jelas silakan ajukan lewat komentar. Terimakasih.

69 Replies to “Contoh Pembahasan Soal Olimpiade Matematika”

  4. Untuk menuliskan notasi matematika memang harus jelas, khususnya soal No. 2
    Itulah knapa jika mendikte soal ke siswa, kayaknya nggak cukup dan musti harus disertai tulisannya.
    Seberapa banyak tanda kurung juga bisa amat menentukan maksud soal.
    Misalnya saya mendike “dua pangkat x dikurangi 5, meski sudah pakai intonasi yg benar, tapi bukan tak mungkin masih ada yg salah tulis.
    Ada yg mengira (2^x) – 5 dan ada yang berpikir 2^(x-5)

    Balas

    1. Iya Pak, betul sekali. Karena persepsi dan daya tangkap siswa bisa berbeda, maka penulisan di papan tulis menjadi alternatif yang bisa mengurangi tingkat kesalahan siswa dalam menuliskan soal.

      Balas

  5. Saya ada soal sederhana yang belum jelas sampai sekarang
    [(-1)^2]^(1/2) itu jawabnya -1; 1 atau plus minus 1 Mas?
    Atau malah bukan semuanya???
    Mudah2an bisa dijelaskan disini
    Untuk Pak Wandi juga boleh ikut njawab soal saya 😀

    Balas

    1. Kalo soal saya ini sich bukan soal Olimpiade juga bukan dari Pasiad.
      Ini soal biasa, soal eksponen kelas X SMA…
      Dan bilangannyapun nggak yang ribuan, nggak faktorial
      Masih <10 😀

      Balas

      1. Nah disitu masalahnya Mas…
        Kalau ada siswa yg hanya ngerjakan salah satu trus dibenarkan apa disalahkan>. Karena kalau jawabnya 1 atau -1 kok cuma dijawab salah satu kan termasuk salah (inilah prinsip Matematika yg kadang nggak bisa diterima awam.

        Sama seperti kasus x^2 = 9, x=…
        Kalau dijawab 3 saja kan salah.

        Balas

        1. Karena menggunakan kata penghubung atau maka kalau ada yang menjawab salah satu dibenarkan saja pak 🙂
          Benar juga pak, x^2 = 9 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{9}
          Maka x = \pm 3
          Haruskah disalahkan kalau hanya menjawab 3? Saya rasa tidak harus sampai disalahkan pak 🙂

          Balas

      2. Saya amat sangat bingung ketika anak mengerjakan hanya sampai ketemu -1 terus berhenti, harus saya benarkan atau saya anggap salah
        (Matematika kan nggak kenal perikemanusiaan)
        Tapi kalau saya salahkan kok ya nggak pas, karena anak tersebut sudah secara benar mengamalkan rumus (a^m)^n adalah a^(mn)

        Balas

        1. Dan pemakaian kata hubung “atau” sepengetahuan saya bukan seperti itu, kecuali kalau semestanya logika matematika.
          Memang benar kalau “atau” itu cukup salah satu benar, tapi tidak bisa untuk memberi toleransi manakala menjawab x^2=9 trus x=-3… 😀
          CMIIW juga

          Balas

          1. Di matematika tak kenal kurang sedikit atau lebih sedikit, apalagi cuma separo.
            kalau jawabnya 3 dan -3 kok hanya dijawab 3, itu maknanya jawabannya baru separo. Tingkat salahnya sama ketika njawab 4 X 25 dijawab 50, karena baru separo juga

    4. numpang mampir pak.

      Maaf saya tidak setuju kalo jawaban soal di atas adalah 1 atau -1.

      Menurut saya jawabnya adalah 1.

      Yang perlu diperhatikan adalah untuk setiap bilangan riil x berlaku (x^2)^(1/2)=|x|.

      Jadi, harus hati – hati menggunakan aturan pangkat untuk bilangan negatif. Andaikan kita boleh menjawab

      [(-1)^2]^(1/2)=(-1)^1= -1

      maka coba perhatikan bukti di bawah ini :

      -1=(-1)^1=[(-1)^2]^(1/2)=1^(1/2)=1

      yang jelas salah.

      Demikian juga bila, [(-1)^2]^(1/2)= -1 maka kita juga bisa membuktikan bahwa -3=3, -4=4, dst.

      Balas

      1. Trimaksih masukannya mas, memang kalau berdasarkan konsep nilai mutlak jawabannya adalah 1.
        Diskusi di atas mencoba melihat permasalahan tersebut berdasarkan sifat-sifat perpangkatan, yang jujur saja saya juga kadang masih bingung dengan jenis soal yang menjebak seperti itu 🙂

        Balas

  6. wah, baru menemukan blog ini dari halamannya mba Nique…
    salam kenal dulu nih sama pak tutornya… 🙂
    anakku pasti akan senang dan akan bolak balik hadir di rumah mayamu nih mas…
    thanks for the pages yaaa….

    Balas

    1. Setauku PASIAD merupakan yayasan Asosiasi Solidaritas Sosial untuk Negara-negara Pasifik dari Turki, ada juga PASIAD Indonesia, salah satu kegiatannya ya mengadakan kompetisi matematika.
      CMIIW

      Balas

  8. your post is nice.. 🙂
    keep share yaa, ^^
    di tunggu postingan-postingan yang lainnya..

    jangan lupa juga kunjungi website dunia bola kami..
    terima kasih.. 🙂

    Balas

    1. Trimakasih Pak, ini soal yang kedua masih menunggu konfirmasi dari pemberi soal, silakan sering-sering mampir Pak. Atau silakan berlangganan artikel via email, cukup masukkan alamat email dan klik OK pada sidebar kanan, dan konfirmasi email lewat inbox.

      Balas

  14. ediaan tenan 😀
    saya paling kurang menyukai matematika mas 😀
    btw syaa liat page view masing2 postingan banyak banget.. maknyoooss

    Balas

    1. Saya lebih suka pelajaran eksak daripada hafalan macam IPS, PPKn dan sebangsanya 😀
      Kalau menurutku view postingannya kurang valid mas, soalnya kalau gak salah misal kita buka homepage, maka postingan yang ada dihomepage juga ikut nambah, atau misal kita edit suatu postingan dan kita lihat perubahannya juga nambah. Tapi ya moga aja memang banyak yang membaca postingannya 🙂

      Balas

    1. Soal mengenai pola bilangan matematika maupun jumlah deret seperti itu seringkali muncul dalam soal olimpiade. Untuk memudahkan pengerjaan soal seperti itu perlu dilakukan manipulasi bentuk 🙂

      Balas

  19. Tolong bantu ya mas

    Jika V menyatakan volume dan s luas permukaan dari sebuah balok berukuran a x b x c maka 1/v =…
    a. s/2 (a+b+c)
    b. 2s/a+b+c
    c. 2/s (1/a + 1/b + 1/c)
    d. 2s (a+b+c)

    tolong bantu secepatnya ya..
    soal yg lebih jelas ada di buku MM kelas VIII jilid 2 penerbit erlangga hal 323 no. 18

    makasiii

    Balas

    1. Maaf baru sempat bales….
      \frac{1}{V} = \frac{1}{a \times b \times c}
      Kalikan kedua ruas dengan 1, karena \frac{S}{S}=1 maka
      \frac{1}{V} = \frac{1}{a \times b \times c} \times \frac{S}{S}
      \frac{1}{V} = \frac{1}{a \times b \times c} \times \frac{2(ab + ac + bc)}{S}
      \frac{1}{V} = \frac{2}{S} \times \frac{ab + ac +bc}{a \times b \times c}
      \frac{1}{V} = \frac{2}{S} \times(\frac{1}{c} + \frac{1}{b} + \frac{1}{a})
      \frac{1}{V} = \frac{2}{S}(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})
      Jadi, jawabannya adalah pilihan C
      Apakah sudah jelas? atau ada yang masih ditanyakan?

      Balas

  20. kak…
    tny dunk…
    hhehehe….
    ini ad soal…
    Misalkan f(x)=2/(4^x+2) untuk x∈R hitunglah f(1/21)+f(2/21)+f(3/21)+⋯+f(20/21)
    tolong yy…
    jwbn.a sianx ini bsa g…
    hhehehe….

    Balas

  21. tny donx kak….
    hihi….
    Sederhanakan bentuk berikut ini

    a^3/((a-b)(a-c))+b^3/((b-a)(b-c))+c^3/((c-a)(c-b))

    Balas

  22. kakak yang baik.! mau nanya nich

    carilah semua fungsi ƒ:R→R sedemikian hingga

    {ƒ(x) – ƒ(y)}/{(x-y} = {ƒ(x).ƒ(y)}/{xy} dan x tidak samadengan y

    maaf banget urgent banget kakak

    Balas

    1. \sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt6+\cdots}}}}=x
      Kedua ruas dikuadratkan, sehingga diperoleh
      6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt6+\cdots}}}}=x^2
      Secara lengkap ditulis sebagai berikut:
      \begin{array}{rcl}\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt6+\cdots}}}}&=&x\\6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt6+\cdots}}}}&=&x^2\\6+x &=& x^2\\x^2-x-6&=&0\\(x+2)(x-3)&=&0 \end{array}
      Dari persamaan terakhir, di dapat x = 3 atau x = -2. Apakah mungkin hasil penjumlahannya bernilai negatif? Tidak.
      Jadi jawabannya adalah x = 3
      Semoga bisa membantu 🙂

      Balas

  28. kak mw tanya 3 soal,, soalnya ni gmna pnyelesaiannya,, mohon bantuannya yah kak:)please
    1. (1/1-p)pangkat4 (1/1+p)pangkat-6 (1+p/1-p)pangkat-5 ?
    2. (xpangkat2/3ypangkat-4/3: ypangkat2/3xpangkat2)pangkat-3/4 ?
    3. jika diketahui a=4+akar3 dan b=4-akar3, maka nilai a pangkat2 + b pangkat2-2ab?

    Balas
  30. Ping-balik: Pembahasan Soal dari Diach | Dunia Matematika

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *