Soal dan pembahasan

Bilangan ke-1439?

Sholihin 10 Februari 2012 37 Comments

Postingan kali ini kembali dihiasi dengan soal dan pembahasan. Ya sambil belajar, sekalian buat mengasah kemampuan kita. Karena tidak mudah menuliskan pembahasan yang dapat dimengerti oleh semua kalangan. So, mari belajar bareng. Beberapa saat yang lalu mendapatkan kiriman soal final PASIAD 2010, kurang lebih seperti ini:

Bilangan dengan banyak digit 7 buah dapat dibentuk dengan angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 yang disusun dari terkecil ke terbesar dan tak boleh ada angka yang dobel. Bilangan terkecil 1234567 dan bilangan terbesar 7654321. Bilangan ke-1439 adalah??
a. 2563741
b. 2765413
c. 2657341
d. 2765431

Jawab:

Untuk menjawabnya, coba perhatikan lagi soal yang tertulis. Banyaknya digit ada 7 buah, karena 1234567 berbeda dengan 7654321 dan tiap angka hanya boleh muncul sekali, maka banyaknya bilangan yang dapat disusun dapat dicari menggunakan permutasi, yaitu permutasi 7 dari 7. Dapat ditulis 7P7 atau P_{7}^{7}

P_{7}^{7}=\frac{7!}{(7 - 7)!} = \frac{7!}{0!}=\frac{7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1}{1} = 5040

Ada 7 angka yang dapat menjadi digit pertama, sedangkan banyaknya seluruh bilangan yang mungkin terbentuk ada 5040. Maka tiap angka di digit pertama mempunyai \frac{5040}{7} = 720 bilangan.

1 sebagai digit pertama ada 720 bilangan

2 sebagai digit pertama ada 720 bilangan

3 sebagai digit pertama ada 720 bilangan

dst.

Yang dicari adalah bilangan ke-1439, dan bilangan tersebut disusun dari yang terkecil ke yang terbesar. Maka bilangan ke 1440 [didapat dari 720+ 720] adalah bilangan dengan digit 2 di depan yang paling besar, yaitu 2765431. Karena yang dicari adalah bilangan ke-1439, maka bilangan yang dicari adalah bilangan yang lebih kecil atau bilangan sebelum 2765431, yaitu 2765413.

Jadi bilangan ke-1439 yang dimaksud adalah 2765413 [jawaban b].

Bagaimana, jelas atau malahan jadi bingung? Kalau ada pertanyaan silakan berikan komentarmu. Pembahasan soal Final KMP (Kompetisi Matematika Pasiad) tersebut merupakan salah satu alternatif penyelesaiannya, masih banyak cara yang lain. Ada yang mau menambahkan?

37 Replies to “Bilangan ke-1439?”

  1. Sebentar..saya coba memahami dulu
    Berarti langkah pertama cari berapa jumlah bilangan yang bisa dibentuk oleh 7 digit angka dengan cara permutasi.

    Terus cari berapa banyak bilangan yang bisa dibentuk untuk tiap digit angka pertama.

    Lalu cari posisi bilangan yang dicari.

    Nah yang saya bingung bilangan ke 1440 kan 2765431 tuh mas, lalu kalo bilangan ke 1439 berarti 1 angka sebelum 2765431 berarti 2765430 dong mas? Kok jadi 2765413 mas?

    Balas

    1. “Nah yang saya bingung bilangan ke 1440 kan 2765431 tuh mas, lalu kalo bilangan ke 1439 berarti 1 angka sebelum 2765431 berarti 2765430 dong mas? Kok jadi 2765413 mas?”
      Mas Faisal, bilangan yang terbentuk merupakan kombinasi dari angka 1 s/d 7, dan semua bilangan tersebut diurutkan dari terkecil sampe terbesar. Misal terkecil 1234567, maka setelahnya adalah 1234576, bukan 1234568. Begitu juga dengan 2765431, maka bilangan sebelumnya adalah 2765413. Bagaimana mas, jelas?

      Balas

      1. Jujur masih bingung mas, hehehe
        Oya maksud saya bukan 2765430 tapi kenapa bilangan sebelum 2765431 bukan 2765427? Atau memang urutan bilangannya gak urut ya? jadi yang penting apa yang paling lebih mendekati angka sebelum angka itu aja? Jadi bingung gini,hehe

        Balas

        1. Kalau 2765427 nanti ada angka yang dobel, yaitu 7 dan angka 1 malahan tidak muncul. Syaratnya adalah bilangan tersebut dibentuk oleh angka 1 s/d 7 dan tidak boleh ada yang dobel. Sebagai gambaran bilangan pertama 1234567, 1234576, 1234657, 1234675, dst. Kalau 2 sebagai digit pertama dari terkecil 2134567, 2134576, 2134657, dst. Bilangan sebelum 2765431 adalah 2765413.

          Balas

  2. 1. Hihihihi… agak njlimet ya mas. Suwer, ini sudah kutanyakan ama temen-temenku, yang sama jawabannya dengan jawaban sampeyan hanya 1 orang, B.
    2. Ini songal Final KMP (Kompetisi Matematika Pasiad) ke-6 tahun 2010 mas, sebenarnya mingsih banyak songal Pasiad yang butuh penjelasan, karena aku sendiri ada yang kurang mampu.
    3. Tak bokmak dolo, makasih dan mohon mangap nekjika meributkan mas. Toh akhirnya jadi nyupos kan?
    4. Apa kali lain kuberi lagi untuk nyuposnya ya? Xixixixi 😆

    Balas

    1. 1. Mudah-mudahan tetep bisa dimengerti ya pak,
      Sebenarnya bisa langsung pake faktorial aja pak
      6! = 720
      Bilangan terbesar untuk digit pertama = 1 adalah bilangan ke 720,
      sehingga Bilangan ke-1439 pastilah digit pertamanya = 2
      1439 – 720 = 719
      untuk digit pertama 2 , ada 6 pilihan angka lagi yaitu 1,3,4,5,6 dan 7.
      komposisi nya ada 6! = 720
      bilangan terbesarnya 765431, shg bilangan terbesar ke 719 adalah 765413
      jadi
      Bilangan ke-1439 atau bilangan ke (720+719) adalah 2765413

      Balas

    2. 2. Malahan belum tau pak kalo ternyata ini soal PASIAD 🙂
      Di halaman download soal dan pembahasan juga ada link soal PASIAD 2011 pak, monggo kalau berkenan.

      3. Iya pak, monggo silakan di bookmark. Di share juga boleh hehehe, sebenarnya bahan buat postingan baru juga masih banyak pak, sebagian sudah saya ketik di draft, tapi belum sempat saya selesaikan.

      4. Kalo sempat dan bisa saya jadikan postingan pak.

      Balas

  3. Anak SMP diberi soal SMA, gurunya aja sudah lupa mas, saya hanya tahu bahwa ini masalah Permutasi pada awal mbacanya dulu, namun untuk melanjutkan kerjaannya belum ketemu. Kalawo boleh usul, taggingnya kurang menggigit mas, misalnya ditambahin : Contoh soal Pasiad dan penyelesaiannya, itulah yang sekarang sedang dicari sampai dengan tanggal 18 Peb. 😀

    Balas

  4. Sekalian mo nanya mas karena belum ketemu, aji mumpung 😀 Mungkin bisa untuk bahan nyuposnya,
    1). 3/(1×4)+5/(4×9)+7/(9×16)+…+2003/(1001^2×1002^2) = ?
    2). (2^x-4)^3+(4^x-2)^3=(4^x+2^x-6)^3==> x=?

    Makasih.

    Balas

    2. Mencoba ikut diskusi,

      no. 1

      3/(1×4)+5/(4×9)+7/(9×16)+…+2003/(1001^2×1002^2) = 1-(1/1002^2)

      no. 2

      (2^x-4)^3+(4^x-2)^3=(4^x+2^x-6)^3 equivalen dengan

      (2^x-4)(4^x-2)(2^x+3)(2^x-2)=0

      sehingga didapat,

      2^x-4=0 x=2

      4^x-2=0 x=1/2

      2^x+3=0 (tidak ada nilai x yang memenuhi)

      2^x-2=0 x=1

      Jadi, Hp={1/2, 1, 2}

      Balas

      1. Makasih mas sudah mau gabung.
        Untuk jawaban nomor 1 sudah di tulis di Pembahasan soal olimpiade
        Untuk yang nomor 2 jujur saja saya belum begitu paham, baik itu dari bentuk soal yang diajukan [masih menunggu konfirmasi dari pengirim soal] dan juga masih belum paham jawaban dari mas Tutur, dari bentuk soal tiba-tiba menjadi ekuivalen dengan bentuk di bawahnya.
        Trimakasih kalau mau menjelaskan.

        Balas

        1. saya memahami soal no.2 seperti apa yang ditulis pak wandi saja. Jadi, saya menganggapnya soalnya seperti bentuk kedua yang mas sholihin berikan.

          Dari soal, (2^x-4)^3+(4^x-2)^3=(4^x+2^x-6)^3

          misalkan, 2^x-4=a dan 4^x-2=b maka soal menjadi equivalen dengan
          a^3+b^3=(a+b)^3

          karena (a+b)^3=a^3+b^3+3a^2b+3ab^2

          maka diperoleh,

          3a^2b+3ab^2=0 , 3ab(a+b)=0 , ab(a+b)=0

          substitusikan kembali nilai a dan b, diperoleh

          (2^x-4)(4^x-2)(4^x+2^x-6)=0
          (2^x-4)(4^x-2)(2^x+3)(2^x-2)=0

          begitu mas menurut saya. mohon maaf kalo ada yang salah.

          oh ya mas, agar bisa nulis equation bagus di blog mas ini gimana caranya?

          saya lihat kalo mas sholihin nulis equation bisa bagus. kalo nulisnya seperti saya di atas agak kurang enak dilihat dan sedikit membingungkan. trimakasih.

          Balas

          2. Wah, makasih mas tulisan saya sudah diedit. Kebetulan saya juga pengguna Latex, tapi jangan dipanggil pak donk mas, masih muda lho (nikah aja belom), jadi dipanggil dik saja.

            Kalo berkenan silakan mampir ke blog saya mas,

            mathematic-room.blogspot.com

            masih sepi sih, belum serame blog jenengan. Maklum masih pemula mas.

            Trimakasih.

  5. weeww,, bingung saya gan 🙁
    emang dari SD dulu saya punya dendam ksumat ama angka-angka..
    Tapi saya juga suka angka-angka, karena Angka-angka adalah bahasa yang diam. Beku. Tapi justru dalam kebekuan itu, tersembunyi kenyataan-kenyataan yang hidup, menggairahkan, dinamis.
    # ngigau saya gan

    Balas

    1. Angka-angka adalah bahasa yang diam. Beku. Bisa juga ungkapannya Matematika adalah musik yang diam, atau musik adalah matematika yang bicara. Paham kan maksudnya? hehehe…
      Bukan cuma mas Aangr saja kok yang mengalami hal sama dengan matematika, memang matematika sudah menjadi momok yang susah dan menakutkan bagi banyak orang. Makanya lewat blog ini pengin sedikit share kalo matematika tu gak melulu menyusahkan kok 🙂

      Balas

  7. “Maka tiap angka di digit pertama mempunyai = 720 bilangan”

    Apa itu maksudnya, setiap angka 1 memiliki kemungkinan tampil pada digit pertama sebanyak 720 ×, angka 2 memiliki kemungkinan tampil pada digit pertama sebanyak 720 × … angka 5 memiliki kemungkinan tampil pada digit pertama sebanyak 720 ×, angka 6 memiliki kemungkinan tampil pada digit pertama sebanyak 720 ×, dan angka 7 memiliki kemungkinan tampil pada digit pertama sebanyak 720 × ??

    Balas

    1. Iya bisa dikatakan seperti itu, 1 sebagai digit pertama maka bilangan yang dapat terbentuk adalah 1234567, 1234576, 1234657, …, 1765432 yang banyaknya ada 720.
      2 sebagai digit pertama maka bilangan yang dapat terbentuk 2134567, 2314567, …, 2765431 yang banyaknya ada 720 bilangan.
      begitu seterusnya sehingga jika ada 7 angka yang bisa menjadi digit pertama maka seluruh bilangan yang mungkin terbentuk dengan memperhatika syarat di atas ada 7 x 720 = 5040 buah bilangan.

      Balas
  8. Ping-balik: Blogger Award Pertama untuk Faisal Rachmadin Blog | Faisal Rachmadin Blog

    1. PASIAD = Pacific Countries Social and Economic Solidarity Association
      Setauku PASIAD merupakan yayasan Asosiasi Solidaritas Sosial untuk Negara-negara Pasifik dari Turki, ada juga PASIAD Indonesia, salah satu kegiatannya ya mengadakan kompetisi matematika.
      CMIIW

      Balas

    1. Kalau menurut saya Matematika Teknik justru lebih mudah, soal di atas kan cuma soal SMA saja, yang jauh levelnya dibanding matematika teknik 🙂

      Balas

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *