Pemakaian Matriks untuk Menyelesaikan SPL

Sholihin 10 November 2011 12 Comments matriks SPLDV

SPL atau yang biasa disebut sistem persamaan linear mempunyai beberapa cara untuk menyelesaikannya, seperti substitusi, eliminasi, menggunakan grafik kartesius, maupun kombinasi dari cara substitusi-eliminasi. Tetapi pada postingan kali ini, karena masih berhubungan dengan materi sebelumnya tentang invers dan determinan matriks, maka akan sedikit membahas tentang pemakaian matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan linear (SPL).

Jika terdapat persamaan

$ax + by = p \cdots \cdots (1)$
$cx + dy = q \cdots \cdots (2)$

Maka, langkah-langkah menyelesaikan SPL dengan menggunakan matriks sebagai berikut:

1. Susun persamaan tersebut menjadi bentuk matriks

$\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} p \\ q \end{bmatrix}$

2. Mencari Himpunan Penyelesaiannya, atau nilai x dan y

$\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \frac {1}{ad - bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix} \begin{bmatrix} p \\ q \end{bmatrix}$

Catatan, perlu diingat kembali:

Dari persamaan $ax + by = p$ dan $cx + dy = q$ , jika:

a). $\frac {a}{c} = \frac {b}{d} = \frac {p}{q}$ maka mempunyai banyak Himpunan Penyelesaian (HP)

b). $\frac {a}{c} = \frac {b}{d} \neq \frac {p}{q}$ maka tidak mempunyai Himpunan Penyelesaian (HP)

Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut:

Tentukan HP dari sistem persamaan di bawah ini dengan menggunakan matriks!

$5x + 3y = 14 \cdots \cdots (1)$

$2x + y = 5 \cdots \cdots (2)$

Jawab:

Dari persamamaan $5x + 3y = 14 \cdots \cdots (1)$ dan $2x + y = 5 \cdots \cdots (2)$ diubah menjadi bentuk matriks

$\begin{bmatrix} 5 & 3 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 14 \\ 5 \end{bmatrix}$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix}= \frac{1}{5 \times 1 - 2 \times 3}\begin{bmatrix}1 & -3\\ -2 & 5 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 14\\5 \end{bmatrix}$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix}= \frac{1}{5 - 6}\begin{bmatrix}1 & -3\\ -2 & 5 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 14\\5 \end{bmatrix}$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix}= \frac{1}{1}\begin{bmatrix}1 & -3\\ -2 & 5 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 14\\5 \end{bmatrix}$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}1 & -3\\ -2 & 5 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 14\\5 \end{bmatrix}$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} (-1 \times 14) + (3 \times 5) \\ (2 \times 14) + (-5 \times 5) \end{bmatrix}$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1\\3 \end{bmatrix}$

$x = 1, y = 3$

Jadi, $HP = {(1,3)}$

12 Replies to “Pemakaian Matriks untuk Menyelesaikan SPL”

bryan berkata:

10 November 2011 pukul 13:02

mas, itu kok X=1,Y=3 kok bisa jadi koma dari mana ya??

Balas
1. zholieh berkata:
  
  11 November 2011 pukul 05:16
  
  Pada $\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix}$ merupakan kesamaan dua buah matrix, jadi elemen-elemen yang bersesuaian sama. x elemen baris pertama kolom satu sama dengan 1 yang merupakan elemen baris ke satu kolom satu, dan y elemen baris ke dua kolom satu sama dengan 3 yang merupakan elemen baris kedua kolom pertama. Dengan kata lain x = 1 dan y = 3.
  
  Balas
okta berkata:

27 Februari 2012 pukul 14:00

ada yang lebih cepet lagi kayae lho,,, yang pake determinan,, dengan mengubah salah satu kolom yang ditanyakan,,, jadi tanpa menggunakan invers,, kayaknya bisa jugha,,, hemat waktu malah,,, hehe

Balas
1. Sholihin berkata:
  
  27 Februari 2012 pukul 14:35
  
  Makasih okt tambahanya, sebentar tak edit dulu komentarnya biar enak dibacanya 🙂
  
  Balas
okta berkata:

27 Februari 2012 pukul 14:07

$x= \frac {\begin{vmatrix} 14 & 3 \\ 5 & 1 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 5 & 3 \\ 2 & 1 \end{vmatrix}} = \frac{14 - 15}{5 - 6} = 1$
$y= \frac {\begin{vmatrix} 5 & 14 \\ 2 & 5 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 5 & 3 \\ 2 & 1 \end{vmatrix}} = \frac{25 - 28}{5 - 6} = 3$

Balas
1. Sholihin berkata:
  
  27 Februari 2012 pukul 15:06
  
  Tampilan sudah saya edit, seperti inikah maksud Okta?
  
  Balas
  1. okta berkata:
    
    2 Maret 2012 pukul 11:16
    
    oke zholieh,,, bagus bagus,,,,
    
    Balas
2. aimprof08 berkata:
  
  29 Agustus 2012 pukul 21:14
  
  keren ini, saya dapat ilmu baru 🙂
  
  Balas
invokavit dachi berkata:

9 Juni 2012 pukul 17:23

contoh soal penyelesaian SPLDV dengan menggunakan metode determinan dan di lukiskan secara geometri

Balas
1. Sholihin berkata:
  
  9 Juni 2012 pukul 23:12
  
  Untuk contoh penyelesaian SPLDV dengan determinan bisa dilihat di komentar sebelumnya, dari komentarnya Mbak Okta. Kalu dilukiskan secara geometri itu maksudnya bagaimana? Apakah maksudnya menggunakan diagram cartesius?
  
  Balas
dani berkata:

19 Oktober 2012 pukul 11:37

mas, kalau ada soal seperti ini, “tentukan HP sistem persamaan linier berikut dengan menggunakan matriks invers?” gimana caranya dan jawabannya 3x+2y-2=0 7x+3y-8=0

Balas
ito berkata:

15 November 2012 pukul 18:43

Permisi mau tanya, kalo misalkan ada persamaan linier, terus pas dihitung determinannya = 0
Itu berarti x, y sama z nya 0 ato ttp bisa cari x, y,z nya pake substitusi biasa?

Balas